是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。在方程上可以写为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是，以恒星为焦点。

基本信息

中文名：

目前状况：使用中

外文名：oval-shaped

应用学科：数学、几何

几何类别：圆锥曲线

表达式：x?/a?+y?/b?=1

适用领域范围：几何计算

参数方程：x=acosθ，y=bsinθ

研究历史

阿波罗尼奥斯所着的八册《圆锥曲线论（conics）》中首次提出了今日大家熟知的ellip（抛物线）、（双曲线）等与圆锥截线有关的名词，可以说是古希腊几何学的精擘之作。

直到十六、十七世纪之交，开普勒（kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一焦点的。

定义

第一定义

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平面内与两定点

、

的距离的和等于常数

（

）的动点p的轨迹叫做。

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即：

其中两定点

、

叫做的焦点，两焦点的距离

叫做的焦距。

为的动点。

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截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为

截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为

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可变为

第二定义

平面内到定点

（c，0）的距离和到定直线

：

（

不在

上）的距离之比为常数

（即离心率

，0a;1）的点的轨迹是。

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其中定点

为的焦点

，定直线

称为的准线（该定直线的方程是

（焦点在x轴上），或

（焦点在y轴上））。

其他定义

根据的一条重要性质：上的点与长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为

，可以得出：

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在坐标轴内，动点（

）到两定点（

）（

）的斜率乘积等于常数;0）

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注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以

无法取到，即该定义仅为去掉两个点的。

也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

方程

中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，

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标准方程

正在加载f点在x轴

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了，的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在x轴时，标准方程为：x?/a?+y?/b?=1(aa;0)

2）焦点在y轴时，标准方程为：y?/a?+x?/b?=1(aa;0)

上任意一点到f1，f2距离的和为2a，f1，f2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为;0，na≠n）。即标准方程的统一形式。

的面积是πab。可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ

标准形式的在（x0，y0）点的切线就是：xx/a?+yy/b?=1。切线的斜率是：-b?x/a?y，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

参数方程

x=acosθ，y=bsinθ。

求解上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=axcosβ，y=bxsinβa为长轴长的一半

极坐标

（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）

r=a（1-e?）/（1-ecosθ）

（e为的离心率=c/a）

几何性质

基本性质

1、范围：焦点在

轴上

，

；焦点在

轴上

，

2、对称性：关于x轴对称，y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）

4、离心率：

或e=√（1-b^2/a?）

5、离心率范围：0a;1

6、离心率越大就越扁，越小则越接近于圆。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）

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8、

与

（m为实数）为离心率相同的。

9、p为上的一点，a-c≤pf1（或pf2)≤a+c。

切线法线

定理1：设f1、f2为c的两个焦点，p为c上任意一点。若直线ab切c于点p，且a和b在直线上位于p的两侧，则∠apf1=∠bpf2。

定理2：设f1、f2为c的两个焦点，p为c上任意一点。若直线ab为c在p点的法线，则ab平分∠f1pf2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

光学性质

的面镜（以的长轴为轴，把转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；的透镜（某些截面为）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都